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Icônes de progrès
 

La géométrie fractale

IBM100 Fractal Geometry iconic mark
 

La géométrie... Ses principes sont enseignés aux élèves du monde entier. Le théorème de Pythagore, les superficies et les volumes, le nombre pi... cette géométrie classique – euclidienne – est parfaitement adaptée au monde créé par les humains. Mais sitôt que l’on considère les structures présentes dans la nature, qui échappent aux principes civilisés de la construction humaine, nombre de ces règles s’effondrent. Les nuages ne sont pas des sphères parfaites, les sommets des montagnes ne sont pas symétriques, la lumière ne voyage pas en ligne droite. La nature est irrégulière – une irrégularité qu’il était impossible de mesurer, et que la géométrie fractale a permis d’explorer mathématiquement.

En 1961, Benoît Mandelbrot était chercheur au laboratoire IBM Thomas J. Watson de Yorktown Heights, dans l’État de New York. Ce jeune et brillant scientifique, qui devait encore trouver son créneau professionnel, avait le profil parfait de l’intellectuel non-conformiste qu’IBM recherchait chez ses nouvelles recrues. La mission était assez simple : IBM travaillait sur la transmission de données informatiques sur des lignes téléphoniques, mais un bruit blanc perturbait la communication et provoquait une perte de signal. IBM demanda à Mandelbrot d’apporter un nouvel éclairage sur le problème.

Dès son enfance, Mandelbrot avait eu un mode de pensée visuel. Et au lieu de recourir à des techniques d’analyse bien établies, il s’intéressa instinctivement au bruit blanc du point de vue des formes qu’il générait – une approche préfigurant la représentation visuelle des données qu’IBM pratique aujourd’hui. Un graphique de la turbulence révéla très vite une caractéristique singulière. Quelle que fût l’échelle de représentation des données sur le graphique – sur une période d’une journée, d’une heure ou d’une seconde –, la forme des perturbations était étonnamment similaire. À l’évidence, on avait affaire à une structure de haut niveau.

Mandelbrot avait déjà rencontré ce type de problème, et il se souvint du conseil que son oncle mathématicien, Szolem Mandelbrojt, lui avait donné des années plus tôt en France : essayer de faire quelque chose des obscures théories sur les itérations des mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia. Leurs travaux, qui intriguaient leurs confrères du monde entier, concernaient une équation extrêmement simple : z = z² + c. Avec une variable z et un paramètre c, cette équation place des valeurs sur le plan complexe, où l’axe des x mesure la partie réelle du nombre complexe et l’axe des y, sa partie imaginaire (i).

À l’époque où il avait reçu ce conseil, Mandelbrot était incapable de trouver une solution, mais la liberté intellectuelle dont il jouissait chez IBM lui permit de s’impliquer à fond dans ce nouveau projet. En 1980, s’appuyant sur la technologie et sur le savoir-faire d’IBM, il mit de puissants ordinateurs à contribution pour calculer l’équation par itération, en redonnant à chaque fois à la variable la valeur trouvée dans le calcul précédent. Grâce à ses ordinateurs, il recalcula l’équation un millier de fois, un million de fois, et grapha les résultats.

Il ressortit de ces multiples itérations une forme bizarre et pour le moins déroutante, comme un cœur bourgeonnant. Mais en l’examinant de près, Mandelbrot se rendit compte que les régions frontalières de cette forme contenaient des versions plus petites et récursives de la forme globale. Ces versions miniatures renfermaient en outre des détails plus complexes que la grande. Ces structures n’étaient pas absolument identiques, mais leur forme générale était extrêmement proche, avec des différences de détail. Il apparut plus tard que la spécificité de ces détails n’était limitée que par la puissance de l’ordinateur qui calculait l’équation, et que des formes similaires pouvaient se répliquer à l’infini, révélant toujours plus de détails. Il s’agissait bien d’une véritable géométrie où l’irrégularité avait ses règles et ses paramètres – une géométrie qui n’avait encore jamais été identifiée par la communauté scientifique.

Mandelbrot sut instantanément qu’il était devant quelque chose d’important. On reconnaissait indubitablement des structures organiques dans les détails de cette forme, et il publia rapidement sa découverte. Cette structure, appelée par la suite « ensemble de Mandelbrot », était un exemple extraordinairement beau et complexe de « fractale » – selon le terme inventé en 1975 par le chercheur pour décrire des structures mathématiques récursives ou « autosimilaires ». Ce n’est pourtant qu’en 1982, avec la publication de son livre The Fractal Geometry of Nature, que Mandelbrot reçut une reconnaissance publique. Le mathématicien y montre les nombreuses occurrences des fractales dans la nature. L’exemple le plus simple est celui de l’arbre. Chaque ramification – du tronc aux branches maîtresses, puis aux rameaux, etc. – est remarquablement similaire, observe-t-il, avec toutefois de subtiles différences qui apportent toujours plus de détail, de complexité et d’éclairage sur l’organisation intérieure de l’arbre dans son ensemble. En bon scientifique, Mandelbrot ne se contente pas d’identifier ces instances naturelles, et présente les théories et les principes mathématiques de cette nouvelle « géométrie fractale ».

Les travaux de Mandelbrot ont donné naissance à une géométrie du cosmos – une géométrie qui défie les lois euclidiennes du monde construit et rend compte des propriétés du monde naturel. Dès lors qu’on identifiait une structure essentielle dans la nature, disait Mandelbrot, on pouvait appliquer les concepts de la géométrie fractale pour en comprendre la composition et énoncer des postulats sur son devenir. Cette nouvelle façon de voir notre environnement, de percevoir la réalité, a engendré des découvertes remarquables sur les mondes de la nature et de l’homme, et a montré que ces deux univers n’étaient pas aussi déconnectés qu’on l’avait cru.

Prenons l’exemple de la biologie. Des structures fractales apparaissent dans la quasi-totalité de nos processus physiologiques. On a cru pendant très longtemps que le cœur humain battait de façon régulière, linéaire, mais des études récentes ont établi que le rythme d’un cœur en bonne santé fluctue selon une structure fractale. De même, la distribution du sang dans l’organisme répond à un modèle fractal. Des chercheurs de Toronto utilisent l’imagerie ultrasonore pour identifier les caractéristiques fractales de la circulation sanguine dans des foies sains et malades. Ils espèrent ainsi mesurer les dimensions fractales de ces flux sanguins et faire appel à des modèles mathématiques pour détecter plus tôt la formation de cellules cancéreuses. Avec l’approche fractale, ils n’auront pas besoin d’images médicales plus précises ni de machines plus puissantes pour voir les minuscules structures précancéreuses. Ce sont les mathématiques, et non les microscopes, qui assureront la détection la plus précoce.

La biologie et la santé ne sont que quelques-unes des applications récentes de la géométrie fractale. Les développements dérivés de l’ensemble de Mandelbrot sont aussi diversifiés que les formes qu’il génère. Des antennes fractales captant la plus grande plage de fréquences connues sont aujourd’hui employées dans de nombreux appareils sans fil. Des programmes de dessin et d’édition d’images utilisent des fractales pour créer des paysages d’une magnifique complexité et des effets spéciaux imitant le vivant. Et des analyses statistiques fractales des forêts permettent de mesurer et d’évaluer la quantité de dioxyde de carbone que la planète peut traiter en toute sécurité.

Nous n’avons fait qu’effleurer la surface de ce que la géométrie fractale peut nous apprendre. Nous connaissons aujourd’hui la nature fractale des conditions météorologiques, des fluctuations des cours de bourse et des amas de galaxies ; mais qu’allons-nous faire de cette connaissance ? Nous ne savons pas plus qu’Alice où nous conduira le terrier du lapin. Les possibilités, comme l’ensemble de Mandelbrot, sont infinies.

Benoît Mandelbrot était un intellectuel touche-à-tout. Il sera à jamais renommé pour sa découverte de la géométrie fractale, mais on lui doit également d’avoir créé une passerelle entre l’art et les mathématiques, et montré que ces deux univers ne sont pas mutuellement exclusifs. Son approche créative de la résolution de problèmes complexes a inspiré les autres chercheurs et les étudiants, et a instillé chez IBM une foi profonde dans le pouvoir de la mise en perspective. Plusieurs décennies après la découverte de l’ensemble de Mandelbrot, la visualisation des données apporte toujours un éclairage neuf et inédit sur des problèmes difficiles en modifiant notre perspective, en bousculant nos idées préconçues et en révélant des connexions invisibles à l’œil nu.